Lista de exercícios do ensino médio para impressão
(GOIÂNIA) Em um triângulo retângulo $\,ABC\,$ os ângulos $\;\hat{B}\text{ e } \hat{C}\;$ são agudos. Se a hipotenusa mede 3 cm. e $\,\operatorname{sen}C\,=\,{\large \frac{\operatorname{sen}B}{2}}\;$, calcule as medidas dos catetos.

 



resposta: $\,\frac{3 \sqrt{5}}{5}\,\text{cm. e }\,\frac{6\sqrt{5}}{5}\,\text{cm.}$

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Num triângulo ABC , o ângulo  é obtuso. Os lados AB e AC medem 3 e 4 , respectivamente. Então:
a) BC < 4
b) BC < 5
c) BC > 7
d) 5 < BC < 7
e) nenhuma das anteriores é correta

 



resposta: (D)
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O ângulo sob o qual um observador vê uma torre duplica quando ele se aproxima 110 m e triplica quando se aproxima mais 50 m. Calcular a altura da torre.

 



resposta: 88 m
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No triângulo da figura são conhecidos os ângulos  = 60° e $\,\hat{B}\,$ = 75° e também o lado c = 13 m.
triângulo ABC conhecidos os ângulos A, B e o lado c

Pede-se:
a) a medida em graus do ângulo C;
b) a medida em metros dos lados a e b;
c) a área do triângulo ABC em metros quadrados.


 



resposta:
Resolução:
a) A soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a 180°, então $ \phantom{X} \require{cancel}\hat{A}\,+\,\hat{B}\,+\,\hat{C}\,=\,180^o\;\Rightarrow $ $\;\hat{C}\,=\,180^o\,-\,(\hat{A}\,+\,\hat{B})\,=$ $\,180^o\,-\,135^o\,=\,45^o\;$

b) Pelo Teorema dos Senos temos que $\,\dfrac{b}{\,sen \hat{B}\,}\,=\,\dfrac{c}{\,sen \hat{C}\,}\,=\,\dfrac{a}{\,sen \hat{A}\,}\,$, então podemos concluir que $\,b\,=\,\dfrac{\,c\,\centerdot\,sen\,\hat{B}\,}{sen\,\hat{C}}\phantom{X}$ e $\phantom{X}a\,=\,\dfrac{\,c\,\centerdot\,sen\,\hat{A}\,}{sen\,\hat{C}}\,$
Lembrar que $\,sen(a\,+\,b)\,=$ $\,sen\,a\,\centerdot\,cos\,b\,+\,sen\,b\,\centerdot\,cos\,a\,$
$\,sen\,\hat{A}\,=\,sen75^o\,$ $=\,sen\,(45^o\,+\,30^o)\,=$ $\,sen\,45^o\,\centerdot\,sen\,30^o\,+\,sen\,30^o\,\centerdot\,sen\,45^o\,=\,$ $\dfrac{\,\sqrt{\,2\;}}{2}\,\dfrac{\,\sqrt{\,3\;}}{2} + \dfrac{\,\sqrt{\,3\;}}{2}\,\dfrac{\,\sqrt{\,2\;}}{2}\, =$ $ \dfrac{\,2\sqrt{\,6\;}}{4} = \dfrac{\,\sqrt{\,6\;}}{2}$
$\,sen\,\hat{B}\,=\,sen\,60^o\,=\,\dfrac{\,\sqrt{\,3\;}}{2}\,$
$\,sen\,\hat{C}\,=\,sen45^o\,=\,\dfrac{\,\sqrt{\,2\;}}{2}\,$

$\phantom{X}a\,=\,\dfrac{\,c\,\centerdot\,sen\,\hat{A}\,}{sen\,\hat{C}}\,=$ $\,\dfrac{\,13\,\centerdot\,\dfrac{\sqrt{\,6\,}}{2}\,}{\dfrac{\sqrt{\,2\,}}{2}}\, =$ $\,13\,\centerdot\,\dfrac{\sqrt{\,6\,}\,\centerdot\,\cancel {2}}{\cancel {2}\,\centerdot\,\sqrt{\,2\,}\,}\,=\,$ $13\,\centerdot\,\dfrac{\sqrt{\,3\,}\,\centerdot\,\cancel{\sqrt{\,2\,}} }{\cancel{\sqrt{\,2\,}}\,}\,=\,13\,\sqrt{\,3\,}\, m\phantom{X}$

$ \phantom{X}b\,=\,\dfrac{\,c\,\centerdot\,sen\,\hat{B}\,}{sen\,\hat{C}}\;=$ $\,\dfrac{\,13\,\centerdot\,\dfrac{\,\sqrt{\,3\;}}{2}\,}{\dfrac{\,\sqrt{\,2\;}}{2}}\,=$ $\,13\,\centerdot\,\dfrac{\sqrt{\,3\,}\,\centerdot\,\cancel {2}}{\cancel {2}\,\centerdot\,\sqrt{\,2\,}\,}\,=$ $\,13\,\centerdot\,\dfrac{\sqrt{\,3\,}\,\centerdot\,\sqrt{\,2\,}}{\sqrt{\,2\,}\,\centerdot\,\sqrt{\,2\,}\,} = \dfrac{\,13\,\sqrt{\,6\,}}{2}\; m\phantom{X}$


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Veja exercÍcio sobre:
trigonometria
lei dos senos
teorema dos senos
resolução de triângulos